A palavra membro é tradicionalmente usada na língua portuguesa para indicar alguém que faz parte de um grupo, organização, instituição, família, associação etc.
Por muitos anos, foi considerada invariável quanto ao gênero, ou seja, usada tanto para homens quanto para mulheres. Exemplos:
João é membro da diretoria.
Ela é membro do conselho.
Maria é membro da minha equipe.
No entanto, a forma membra também existe e está dicionarizada, sendo aceita por gramáticos contemporâneos como uma opção válida para o feminino.
Vem do latim membrum, originalmente significando "parte do corpo". Por extensão de sentido, passou a significar "integrante de um grupo". Tornou-se o padrão de uso, sem distinção entre masculino e feminino.
Surgiu por analogia com outros substantivos que variam (aluno/aluna, professor/professora, autor/autora).
É reconhecida por vários dicionários modernos, como o Houaiss, o Aulete e o Michaelis, e por linguistas que defendem maior visibilidade feminina na linguagem.
As duas estão corretas.
"Membro" - forma tradicional, neutra, amplamente usada e aceita em qualquer contexto.
"Membra" - forma também correta, dicionarizada e usada para marcar especificamente o gênero feminino.
Importante: nenhuma norma gramatical obriga o uso do feminino "membra". É uma opção, não uma regra.
É sempre aceitável, inclusive para mulheres. Mais comum em contextos formais. Exemplos:
A ministra é membro da Suprema Corte.
Juliana é membro da comissão organizadora.
Eles são membros da igreja há muitos anos.
Usado para destacar ou marcar o feminino de forma explícita. É comum em textos que buscam linguagem inclusiva. Exemplos:
Ela é membra da Comissão de Ética.
As membras do grupo decidiram estender o prazo.
A professora é membra do colegiado pedagógico.
Se a instituição já adota "membra", você pode usar sem receio. Se não há política linguística definida, "membro" continua sendo a forma mais neutra e padrão.
Em textos formais acadêmicos, jurídicos ou administrativos, ambas são aceitas, mas "membro" é mais frequente.